Calculando proporcionalidad

Buen día en este pequeño blog daré a conocer algunos problemas de matemáticas junto con sus respectivas soluciones:

Presentado por Angie carolina Morera Arango.

Aplicar las propiedades del álgebra elemental y las ecuaciones lineales para dar solución a problemas cotidianos, de forma transversal y ecuánime.  

1.      Si 25 telares producen cierta cantidad de tela en 120 horas. ¿Cuántas horas demoran 60 telares iguales en producir la misma cantidad de tela?

 

Solución: 

Proporción inversa

 

Horas	Telares
120	25
X	60

X= 120 horas x 25 telares     = 3000 = 50 Horas

               60 telares                       60

 

2.      La rapidez de un automóvil es de 70 Km/hr y demora 5 horas en recorrer una cierta distancia. ¿Cuántas horas demorará, en recorrer la misma distancia, otro automóvil con una rapidez de 80 Km/hr?

 

Solución:

Proporción inversa

 

Horas	Km/hr
5	70
X	80

X= 5 horas x 70 km/hr     = 350 = 4,375        4 Horas

               80 km/hr                  80

 

3.      4 operarios producen en 10 días, 320 piezas de un cierto producto. ¿Cuántas piezas de este mismo producto harán 10 operarios en 16 días?

 

Solución: 

Proporción directa

 

Operario	Días	Piezas
4	10	320
10	16	X

 

                              1

320 = 4   .  10   = 4    = 1

   X     10     16     16      4

                                                  4

320 = 1   

   X      4

320 . 4 = 1 . X  

 

320 . 4   = X                                         Respuesta: 1280 piezas

       1

 

1280  = X

    1

 

4.      Con mi dinero puedo comprar 20 dulces a $20 cada uno. Si suben a $25, ¿cuántos podré comprar?

 

Solución:

Proporción inversa

 

Dulces	Precio
20	20
X	25

X= 20 dulces x $20 = 400 = 16 dulces

                    $25            25

 

 

5.      Seis obreros cavan en tres horas una zanja de 20 m. de longitud. ¿Cuántos metros cavarán, en el mismo tiempo, 42 obreros trabajando en las mismas condiciones?

 

Solución:

Proporción directa

 

Obreros	Metros
6	20
42	X

X= 42 obreros x 20 metros = 840 = 140 metros

                    6 obreros                6

6. Ana María dispone de $300.000 para el mercado de un mes; el lunes gastó las 2/5 partes de esa cantidad y el viernes las 3/6 partes de lo que le quedaba. ¿Cuánto gastó cada día y cuánto le queda al final? Solución: El lunes gastó $120.000, el viernes $90.000 y le quedan $90.000. 

Para saber cuánto gastó el lunes, viernes y cuanto le queda al final lo que se hace es multiplicar los $300.000 por los 2/5 y nos da $120.000 que sería lo que gasto el lunes. Para saber cuánto le queda para el viernes a $300.000 le restamos $120.000 y nos da $180.000 que es lo que quedaría de ahí en adelante; el viernes gasto 3/6 de lo que quedaba, entonces se simplifica la fracción quiere decir que 3/6 se divide en 3, dando un resultado de ½ que quiere decir que el viernes gasto la mitad de lo que le quedaba que fue $180.000. los $180.000 los multiplicamos por ½ y como resultado es $90.000 y lo que queda seria $90.000 y si sumamos las tres cantidades nos va a dar los $300.000 iniciales.

7. En un parque había 5 abetos y 4 pinos. El jardinero ha plantado otros 6 pinos más. ¿Cuántos árboles hay ahora en total en el parque?

Podemos resolverlo agrupando los sumandos de dos maneras, pero siempre nos va a dar el mismo resultado (15). Obsérvalo en las siguientes imágenes:

Si primero sumamos los árboles que había al principio (5 + 4) y después sumamos los pinos que han plantado nuevos (6), estamos agrupando los sumandos de esta forma:

Si primero sumamos los pinos que hay en total (4 + 6) y después le sumamos los abetos (5), estamos agrupando los sumandos de esta forma:

8 Para llevar balones nuevos a un polideportivo, han llegado 2 camiones con 10 cajas cada uno. Dentro de cada caja hay 8 balones. ¿Cuántos balones han llegado al polideportivo?

Podemos resolverlo agrupando los factores de dos maneras, pero siempre nos va a dar el mismo resultado (160). Obsérvalo en las siguientes imágenes:

Si primero multiplicamos los camiones por las cajas que tiene cada camión (2 x 10), obtendremos el número de cajas totales. Después multiplicamos por el número de balones de cada caja (20 x 8) y nos dará 160 balones en total:

Si primero multiplicamos las cajas por los balones que tiene cada caja (10 x 8), obtendremos el número de balones por cada camión. Después multiplicamos por el número de camiones (80 x 2) y nos dará 160 balones en total:

9 Si 3a− 1 = 5 ¿Cuál es el valor de ?

$3^{a-1}=\mathrm{5 }$

$$E=\frac{3^{a+b}+3^{a+c}}{3^{b+1}+3^{c+1}}$$

1. Usando $a^{n+m}=a^n\cdot a^m$:
   $$E=\frac{3^a\cdot 3^b+3^a\cdot 3^c}{3^b\cdot 3^1+3^c\cdot 3^1}$$
2. Factorizando $3^a$ y $3^1$ en el numerador y denominador respectivamente:
   $$E=\frac{3^a(3^b+3^c)}{3^1(3^b+3^c)}$$
3. Simplificando $3^b+3^c$, resulta:
   $$E=\frac{3^a}{3^1}$$
4. Usando $\frac{a^n}{a^m}=a^{n-m}$:
   $$E=3^{a-1}$$
5. Teniendo como dato $3^{a-1}=5$, resulta:
   $$E=5$$

10. Por la compra de un televisor en $2.200.000 se ha pagado ¼ al contado y el resto en 6 cuotas de igual valor ¿Cuál será el valor de cada cuota? Solución: Cada cuota será de $275.000.